Phép Vị Tự Là Gì? Công Thức Và Bài Tập Phép Vị Tự Lớp 11 (Có

Phép vị tự là gì

1. Vị ngữ là gì? Ví dụ về vị ngữ

1.1. Định nghĩa

Cho điểm o và số $k\neq 0$

Vị từ là phép biến đổi từng điểm m thành điểm m’ sao cho $\overrightarrow{om’}=\overrightarrow{om}$

Dấu của vị từ vị tự o, tỉ số k thường là $v_{(o,k)}$

Ví dụ cho phép vị ngữ

1.2. Nhận xét:
- Khi k = 0, vị từ là đơn vị
- Vị từ đối xứng qua tâm vị từ khi k = -1
- $m’=v_{(o,k)}(m)\leftrightarrow m=v_{(o,\frac{1}{k})}(m’)$
  
  2. thuộc tính
  - Dùng vị từ tự định tâm i, tỷ số k (aka $v_{(i,k)}$) để biến hai điểm a, b thành a’, b’ rồi $\ overrightarrow { a’b’}=k\overrightarrow{ab}$
  - Một thuộc tính khác của vị từ tỷ lệ k là:
    - Từ 3 điểm thẳng hàng đã cho biến 3 điểm này thành 3 điểm thẳng hàng và thứ tự các điểm không đổi.
    - Biến một tia thành một tia, một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với nó và một đoạn thẳng có độ dài a thành một đoạn thẳng có độ dài |k|a.
      - Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với |k|, làm cho các góc bằng nó.
        
        Vị từ có thể biến đường tròn bán kính r thành đường tròn bán kính kr.
        
        3. Vị trí tâm của hai đường tròn
        
        3.1. Định lý
        
        Khi cho hai đường tròn bất kỳ, luôn có một vị từ biến đường tròn này thành đường tròn kia.
        
        3.2. Cách tìm âm tiết
        
        Xác định (tìm) tâm của hai đường tròn (i,r) và (i’,r’)
        
        Trường hợp 1: i trùng với i
        
        Đặc điểm: điểm i
        
        Thang đo vị từ:
        
        $\left |k \right | = \frac{r’}{r}\rightarrow k=\pm \frac{r’}{r}$
        
        Trường hợp 2: Sử dụng $i\neq i’$ và $r\neq r’$
        
        Đặc điểm: o là âm ngoài
        
        $o_{1}$ là vị từ bên trong
        
        Tỷ lệ vị ngữ
        
        Tập trung vào o:
        
        $\left |k \right |=\frac{\left |\overrightarrow{om’} \right |}{\left |\overrightarrow{om} \right | }=\frac{\left |\overrightarrow{i’m’} \right |}{\left |\overrightarrow{im} \right |}=\frac{r’ {r} \rightarrow k=\frac{r’}{r}$
        
        (k không đổi dấu vì $\overrightarrow{om}$ và $\overrightarrow{om’}$ cùng hướng)
        
        Trái tim $o_{1}$
        
        $\left |k_{1} \right |=\frac{\left |\overrightarrow{o_{1}m”} \right |}{\left | overrightarrow{o_{1}m} \right |}=\frac{\left |\overrightarrow{i’m”} \right |}{\left |\overrightarrow{ im} \right|}=\frac{r’}{r} \rightarrow k_{1}=\frac{r’}{r}$
        
        (k đổi dấu vì $\overrightarrow{o_{1}m}$ và $\overrightarrow{o_{1}m”}$ ngược hướng nhau)
        
        Trường hợp 3: $i\neq i’$ và r = r’
        
        Bệnh tâm thần: Hình bên dưới là $o_{1}$
        
        Thang vị ngữ:
        
        $\left |k \right |=\frac{\left |\overrightarrow{o_{1}m”} \right |}{\left |\overrightarrow{ o_{1}m} \right |}=\frac{\left |\overrightarrow{i’m”} \right |}{\left |\overrightarrow{im} right|}=\frac{r}{r}=1 \rightarrow k=-1$
        
        (vì $\overrightarrow{o_{1}m}$ và $\overrightarrow{o_{1}m”}$ không đổi dấu)
        
        4. Công thức vị ngữ
        
        Điểm $m(x_{0};y_{0})$. Căn giữa vị từ i(a,b), tỉ số k biến điểm m thành m’ và tọa độ (x’, y’) thỏa mãn
        
        5. Các dạng bài tập về vị ngữ và lời giải
        
        Dạng 1: Tìm các phần tử của vị từ biến điểm m cho trước thành điểm m’
        
        Giải pháp:
        
        Các tình huống có thể xảy ra:
        
        th1: Cho tâm o, ta tìm được tỷ số $k=\frac{\overrightarrow{om’}}{\overrightarrow{om}}$
        
        th2: Với k, ta tìm được o là điểm chia của mm’ chia cho tỷ số k
        
        Ví dụ 1: Cho tam giác abc có g là trọng tâm. Hỏi tìm tâm của vị từ biến g thành a có tỉ số vị từ k = 3?
        
        Giải pháp:
        
        Gọi số điện thoại của bc
        
        Có: $\overrightarrow{oa}=3\overrightarrow{og}$
        
        Chứng minh rằng v(o;3): g $\rightarrow$ a
        
        so o là tâm của vị từ cần tìm
        
        Ví dụ 2: Gọi h và g của tam giác abc lần lượt là trọng tâm, trọng tâm tam giác và đường tròn ngoại tiếp o. Xác định tỉ lệ vị từ k (tâm g) của vị từ tự chuyển h và o
        
        Giải pháp:
        
        Áp dụng định lý Euler, ta có: o, g, h thẳng hàng
        
        Và $\overrightarrow{go}=\frac{-1}{2}\overrightarrow{gh}$
        
        Bằng chứng: $v(g;\frac{-1}{2})(h)=o$
        
        Vậy $k=\frac{-1}{2}$
        
        Dạng 2: Dùng vị từ xác định tập hợp các điểm cần tìm
        
        Phương pháp giải: Để tìm tập điểm n cần tìm, ta thực hiện lần lượt các bước sau:
        
        Bước 1: Xác định vị từ v(o,k): $m\rightarrow n$
        
        bước 2: Tìm tập hợp điểm h và điểm m suy ra tập hợp n là h’, ảnh của h qua vị từ v(o;k)
        
        Ví dụ: Cho đường tròn (o), o là tâm và r là bán kính. Lấy hai điểm phân biệt trên (o) và sửa a, b. Gọi m là một điểm chuyển động trên (o) và m’ là một điểm thỏa mãn $\overrightarrow{mm’}=\overrightarrow{ab}$. Điểm xác định trọng tâm g của tam giác bmm’?
        
        Giải pháp:
        
        Làm tôi te của mm’.
        
        Ta có: $\overrightarrow{mi}=\frac{1}{2}\overrightarrow{ab}$
        
        g là trọng tâm của tam giác bmm’
        
        Vì vậy, $\overrightarrow{bg}=\frac{2}{3}\overrightarrow{bi} \rightarrow v(b;\frac{2}{3}: i \rightarrow g$
        
        Vậy trước hết ta tìm tập điểm i
        
        Vì $\overrightarrow{mi}=\frac{1}{2}\overrightarrow{ab}$ nên $t_{\frac{1}{2}\overrightarrow{ab}}( m)=i$
        
        Vậy tập hợp điểm (o’) của điểm i là đường tròn o’
        
        $\overrightarrow{oo’}=\frac{1}{2}\overrightarrow{ab}$ và bán kính r.
        
        Tức là, $v(b;\frac{2}{3}): i \rightarrow g$ Vậy tập hợp điểm g là một đường tròn có tâm là o” và ảnh của (o ‘) được chuyển qua vị từ $v(b;\frac{2}{3})$ và $\overrightarrow{bo”}=\frac{2}{3}\overrightarrow{bo ‘}$ và bán kính $r ‘=\frac{2}{3}r$
        
        Dạng 3:Lập theo vị ngữ
        
        Phương pháp:
        
        Bước 1: Tìm vị từ chuyển h thành h’
        
        Bước 2: Dựng h’ và tìm h
        
        Ví dụ: Tam giác abc nhọn. Dựng hình chữ nhật mnpq với $mn=mq\sqrt{2}$ sao cho m,n thuộc bc, p thuộc cạnh ca, q thuộc cạnh ab.
        
        Giải pháp:
        
        Phân tích:
        
        Đặt $\frac{aq}{ab}=\frac{am}{ae}=k>0$, vị từ v(a;k) biến hình chữ nhật mnpq thành hình chữ nhật edcb, trong đó $ed=eb sqrt{2}$ (vì $mn=mq\sqrt{2}$)
        
        Cách xây dựng:
        
        Dựng hình chữ nhật edcb ở cạnh đối diện của tam giác abc với đường thẳng bc sao cho $ed=eb\sqrt{2}$
        
        n, m lần lượt là giao điểm của ad, bc và ae, bc
        
        Dựng đường thẳng vuông góc với bc lần lượt đi qua m và n, cắt ac tại p và ab tại q
        
        mnpq là hình chữ nhật cần xây dựng
        
        $\rightarrow$ chỉ có một giải pháp duy nhất
        
        6. Một số câu hỏi trắc nghiệm về vị ngữ (có đáp án)
        
        Ví dụ 1: Hai đường thẳng d và d’ cắt nhau. Có bao nhiêu vị từ biến đoạn thẳng thành chính nó?
        
        A. Không được phép
        
        Chỉ một câu thần chú
        
        Chỉ có hai câu thần chú
        
        Có vô số phép thuật
        
        Giải pháp:
        
        Đáp án d vì tâm động là giao điểm của d và d’. nên có vô số k nên có vô số vị từ biến đoạn thẳng thành chính nó
        
        Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng d và d’ song song và một điểm o không thuộc hai đường thẳng đó. Số lượng vị từ định tâm o có thể biến hàng d thành hàng d’?
        
        A. vô số
        
        Chỉ một
        
        Chỉ có hai
        
        không
        
        Giải pháp:
        
        Trả lời b
        
        Đi bất kỳ dòng nào từ a đến o và cắt bớt d và d’ tại a và a’
        
        Gọi k thỏa mãn: $\overrightarrow{oa}=k\overrightarrow{oa}$, số k không phụ thuộc vào hàng a. Vì vậy, câu trả lời là chuyển đổi dòng d thành dòng d’ từ vị từ định tâm o tỷ lệ k
        
        Ví dụ 3: Một hình vuông có s = 4. Theo vị từ $v_{(i,-2)}$, hình của hình vuông s ở trên tăng lên bao nhiêu lần? Bản chính? Một loại. 2
        
        4
        
        8
        
        $\frac{1}{2}$
        
        Giải pháp:
        
        $s_{hv}=4 \rightarrow$ hình vuông có cạnh là 2
        
        v(i;-2) $\rightarrow$ Bên cạnh hình vuông mới là |-2|. Bên cạnh quảng trường cũ
        
        Cạnh $\rightarrow$ của hình vuông mới là 4
        
        $\rightarrow s_{m}=4^{2}=16$
        
        $\rightarrow \frac{s_{c}}{s_{m}}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4} \rightarrow$s tăng 4 thời gian
        
        Chọn b
        
        Ví dụ 4: Thực hiện vị từ h(1;2), tỉ số k = -3 điểm m(4,7) trở thành tọa độ điểm m’
        
        p >
        
        A. m'(8;13)
        
        m'(-8;-13)
        
        m'(-8;13)
        
        m'(-13;8)
        
        Giải pháp:
        
        Trả lời b
        
        Ví dụ 5: Phép vị tự tâm o tỉ số vị từ k = -2 biến điểm m(-3;1) thành điểm nào sau đây
        
        A. m'(3,-1)
        
        m'(-3,1)
        
        m'(-6,2)
        
        m'(6,-2)
        
        Đáp án: Đáp án d
        
        $v_{(i;k)}(m)=m’ \leftrightarrow \overrightarrow{im’}=k\overrightarrow{im}$
        
        Ví dụ 6: Xét biến vị từ $v_{(i;3)}$ biến tam giác abc thành tam giác a’b’c’. Hỏi chu vi tam giác a’b’c’ gấp mấy lần chu vi tam giác abc
        
        A. 1
        
        2
        
        3
        
        4
        
        Đáp án: Đáp án c
        
        $v_{(i;3)}(ab)=a’b’;\rightarrow a’b’=3ab$
        
        $v_{(i;3)}(ac)=a’c’;\rightarrow a’c’=3ac$
        
        $v_{(i;3)}(bc)=b’c’;\rightarrow b’c’=3bc$
        
        $\frac{p_{a’b’c’}}{p_{abc}}=\frac{3(ab+ac+bc)}{ab+ac+bc}=3 $
        
        Ví dụ 7: Cho tam giác abc có g là trọng tâm. Gọi a’, b’, c’ lần lượt là ttd của các cạnh bc, ac, ab của tam giác abc. Vậy vị từ tự tỉ lệ biến tam giác a’b’c’ thành tam giác abc là bao nhiêu?
        
        A. Tỷ lệ k = 2
        
        k = -2
        
        k = -3
        
        Tỷ lệ k = 3
        
        Giải pháp:
        
        Trả lời b
        
        $v_{(g,k)}a = a’$
        
        $\rightarrow \overrightarrow{ga}=k\overrightarrow{ga’}\rightarrow k=-2$
        
        Ví dụ 8: Bài toán hình thang abcd, ab và cd thỏa mãn ab = 3cd. Tỉ lệ k của vị từ biến điểm a thành c và b thành d là:
        
        A. k = $\frac{1}{3}$
        
        k = 3
        
        k = $\frac{-1}{3}$
        
        k = -3
        
        Giải pháp:
        
        Trả lời một
        
        ac và bd cắt nhau tại o
        
        $v_{(o;k)}(a)=c, v_{(o;k)}(b)=d$
        
        $\rightarrow \overrightarrow{cd}=k\overrightarrow{ab} \rightarrow k=\frac{1}{3}$
        
        Ví dụ 9: Đối với hình thang abcd, $\overrightarrow{cd}=\frac{-1}{2}\overrightarrow{ab}$ (ac và bd cắt nhau trong i ). Việc thực hiện vị từ vị kỷ i ratio k biến $\overrightarrow{ab}$ thành $\overrightarrow{cd}$. Phát biểu nào sau đây là sai?
        
        A. k = -2
        
        k = $\frac{-1}{2}$
        
        k = 2
        
        k = -3
        
        Giải pháp:
        
        Trả lời b
        
        $v_{(i;k)}(ab)=cd$
        
        $k\overrightarrow{ab}=\overrightarrow{cd}\rightarrow k=\frac{-1}{2}$
        
        Ví dụ 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng © có phương trình: x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0. Qua phép vị tự tâm h(1;3 ) tỉ số k = -2, đường tròn (c) thành đường tròn thẳng (c’) theo phương trình
        
        A. x2 + y2 + 2x – 30y + 60 = 0
        
        x2 + y2 – 2x – 30y + 62 = 0
        
        x2 + y2 + 2x – 30y + 62 = 0
        
        x2 + y2 – 2x – 30y + 60 = 0
        
        Lời giải: Đáp án C
        
        Mong rằng qua bài viết trên, các em học sinh nắm rõ được lý thuyết về vị ngữ lớp 11, đồng thời hiểu kỹ và vận dụng các bài tập về vị ngữ từ cơ bản đến nâng cao như: xác định vị từ điểm m’ biến một điểm m cho trước thành một điểm cho trước, Sử dụng vị từ để tìm tập hợp điểm và xây dựng mô hình. Để không mắc lỗi trong khi làm bài, bạn cần luyện tập nhiều hơn. Các bạn học sinh có thể truy cập vuihoc.vn ngay hôm nay và đăng ký tài khoản để thực hành nhé!